10. 블랙 숄즈 옵션 가격 모형에 대해 알아보기 - 예제와 함께

 BLACK SCHOLES Option Pricing Model(블랙 숄즈 옵션 가격 모형)은 옵션 가격을 평가하고 예측하는 모형입니다. 블랙 숄즈 모형은 주로 만기에 행사할 수 있는 옵션인 유럽식 옵션의 가치를 평가하는 데 사용되며, 기초자산의 현재 가격(S), 행사 가격(K), 옵션 만기까지 남은 시간(T), 무위험 이자율(r), 변동성(sigma)의 다섯 가지의 요인을 고려하여 콜옵션과 풋옵션의 가격을 결정합니다. 
콜옵션과 풋옵션의 가격을 산출하기 위해서는 표준정규분포의 누적 확률밀도함수 식이 사용됩니다. 블랙 숄즈의 식에서는 이를 N(x)으로 나타냅니다. 평균이 0이고 분산이 1인 표준정규분포의 특성에 따라 N(x)= 1- N(-x)이 성립합니다. 콜옵션의 가격을 C라고 하면 C= S*N(d1)-K*e^(-RT)*N(d2) 이고, 풋옵션의 가격을 P라고 하면 P=K*e^(-RT)*{1-N(d2)}-S*{1-N(d1}= K*e^(-RT)*N(-d2)-S*N(-d1)입니다. 이때 d1= {ln(S/K)+(r+0.5*sigma^2)*T}/sigma*sq rt(T)입니다. 그리고 d2= {ln(S/K)+(r-0.5*sigma^2)*T} /sigma*sq rt(T)입니다. 각 식에 S, K, T, r, sigma의 값을 대입하면 콜옵션과 풋옵션의 가치를 산출할 수 있습니다.

 

블랙 숄즈 모형은 put call parity를 만족시킵니다. N(x)= 1- N(-x)인 점을 사용하면, 
C-P= S*[N(d1)+N(-d1)]-K*e^(-RT)[N(d2)+N(-d2)] = S-K*e^(-RT)입니다.
블랙 숄즈 모형은 1년 주가가 log-normal 분포를 따른다고 가정합니다. log-normal 분포란 log를 취할 경우 정규분포가 되는 분포를 의미합니다. 반대로 정규분포에 exponential을 취하면 log-normal 분포가 됩니다. 반면 연간 복리로 계산되는 수익률은 정규분포를 따른다고 가정합니다. 또한 수익률을 계산할 때 일반적으로는 (S2-S1)/S1인 percentage return보다는 ln(S2/S1)인 log return을 사용합니다.

 

예제를 살펴봅시다. 유럽식 콜옵션이 위험 중립을 가정했을 때 행사될 확률이 N(d2)임을 보이는 문제입니다. 만기 시점의 주가를 ST라고 하면 ln ST는 평균이 ln S+(r-(sigma^2)/2)*T이고 분산이 sigma^2*T인 정규분포를 따릅니다. 위험 중립인 경우에는 원래 식의 평균에 μ 대신 r을 대입하여 구할 수 있습니다. 콜옵션을 행사할 확률인 ln ST가 ln K보다 클 확률은 1에서 ln ST가 ln K보다 작을 확률을 뺀 값과 같습니다. 이때 부등식의 양변에서 ln ST의 평균을 빼고 표준편차로 나눠주면 표준정규분포의 누적 확률밀도의 식으로 나타낼 수 있습니다. 따라서 이 값은 N(d2)가 됩니다.
또 다른 예제를 살펴봅시다. 주가는 μ=16%이고 변동성은 35%인 geometric Brownian motion을 따르며 현재 가격은 38$입니다. 행사가격이 40$이고 만기가 6개월인 유럽식 콜 옵션이 행사될 확률은 얼마인지 구해봅시다. 앞선 식에 의해 ln ST-ln S는 평균이 {μ-(sigma^2)/2}*T이고 분산이 sigma^2*T인 정규분포를 따릅니다. 따라서 ln ST는 평균이 ln S+{μ-(sigma^2)/2}*T이고 분산이 sigma^2*T인 정규분포를 따릅니다. 만기가 6개월이므로 T=6/12=0.5, 변동성이 35%이므로 sigma=0.35, μ=16을 대입하면 P(ln ST>=ln 40)의 값을 구할 수 있습니다.