9. Put-Call Parity의 개념에 대해 쉽게 알아보기! - 예제와 함께

1. Put-Call Parity의 개념

 

Put-Call Parity는 옵션 시장에서 옵션 가격과 주식 가격 간의 관계를 나타내는 식입니다. call 옵션의 가격을 C, 풋옵션의 가격을 P, 기초자산 가격을 S, 무위험 이자율을 r, 만기를 T, 행사가격을 K라고 하면 C= P+S-K*e^(-r*T) 가 성립합니다. 단, call 옵션과 풋옵션은 같은 만기를 가져야 하고 같은 행사가격을 가져야 합니다. Binomial Option Pricing을 통해서도 Put-Call Parity 식을 유도할 수 있습니다. n step binomial tree의 경우 C-P= S-K*R^(-n)이 성립하며, 이를 이산형이 아닌 연속형으로 바꾸면 C-P= S-K*e^(-r*T) 식이 성립합니다. Put-Call Parity 식에서 배당을 주는 주식의 경우, 배당금(Dividend, D)을 포함하여 작성할 수 있습니다. 이때 식은 C= P+ (S-D) - K*e^(-r*T) 가 됩니다.

 

2. 유럽식 옵션에서만 성립하는 Put-Call Parity

 Put-Call Parity는 유럽식 옵션에서만 성립하고, 아메리칸 옵션에서는 성립하지 않습니다. 이는 아메리칸 옵션의 경우 만기 시점 이전에도 옵션을 행사할 수 있기 때문입니다. 또한 아메리칸 옵션의 경우, 배당을 주지 않는 주식에 대한 call 옵션은 만기 시점 이전에 행사하지 않는 것이 최적입니다. 따라서 배당을 주지 않는 주식에 대한 call 옵션 가격은 유럽식 call 옵션의 가격과 같습니다. 아메리칸 옵션을 조기 행사하는 것이 최적이 아닌 이유를 설명해 보면, 첫째로 시간 가치의 관점에서, 미리 옵션을 행사하는 것은 양(+)의 이자율을 가정할 경우 이자만큼의 손해를 유발하기 때문입니다. 둘째로는 주가가 상승할 경우 미리 옵션을 행사하는 것이 손해이며 주가가 하락할 것을 예상할 경우에도 조기 행사하는 것이 아니라 call 옵션을 주가 상승을 예상하는 다른 사람에게 파는 것이 유리하기 때문입니다. 아메리칸 풋옵션의 경우, 조기 행사는 주가가 떨어졌을 때 보호받는 보험 역할을 할 수 있다는 점에서 장점이 있지만, 미리 팔았을 경우 만기까지의 이자를 받지 못한다는 점에서 단점이 있습니다. 따라서 상충관계가 존재합니다.

 

3. 예제를 통한 설명

 예시를 들어 Put-Call Parity를 설명해 봅시다. 배당금을 주지 않는 주식의 가격이 19$이고, 행사가격이 20$인 만기 3개월 유럽식 call 옵션의 가격은 1$이며, 무위험 이자율은 매년 4%입니다. 행사가격이 20$인 만기 3개월 유럽식 풋옵션의 가격은 1= x + 19 - 20*e^(-4%*0.25) 을 만족하는 x의 값으로 정해집니다. 다른 예시의 경우, 배당을 주지 않는 주식에 대한 행사가격 120$인 유럽식 call 옵션과 풋옵션의 12개월 만기 가격이 각각 20$, 5$라고 합시다. 또한 현재 주식 가격은 130$이다. Put-Call Parity를 이용하면 시장으로부터 무위험 이자율(r)에 대한 정보를 찾아낼 수도 있습니다.

 Put-Call Parity 식에서 call 옵션 가격의 하한과 풋옵션 가격의 하한(Lower Bound) 또한 알 수 있습니다. C >= S- K*e^(-r*T)이고, P >= K*e^(-r*T) - S입니다.

 c1, c2, c3는 각각 K1, K2, K3의 행사가격을 가진 유럽식 콜 옵션의 가격이며, K3>K2>K1, K3-K2= K2-K1의 관계가 성립한다고 가정합시다. 모든 옵션은 같은 만기를 가질 때, c2<=0.5*(c1+c3) 임을 알아봅시다. 행사가격이 K1인 콜옵션에 대해서 하나의 롱 포지션을 취하고, 행사가격이 K3인 콜옵션에 대해서 하나의 롱 포지션을 취하고, 행사가격이 K2인 콜옵션에 대해서 두 개의 숏 포지션을 취하는 포트폴리오를 가정해봅시다. 이 때 보수는 S_T<=K1일 때와 S_T>=K3일 때 0, K1<= S_T <= K2일 때 S_T-K1, K2<=S_T<= K3일 때 K3-S_T가 됩니다. 즉, 보수는 어떠한 경우에도 0 또는 그 이상이 됩니다. 따라서 arbitrage가 존재하지 않으려면 c*K1+c*K3-2C*K2 > 0 이어야 합니다. 이를 통해 c2<=0.5*(c1+c3)임을 보일 수 있습니다.