8. binomial tree에 관한 예제 풀어보기(1 step, 2 step, ...)

1. 1-step binomial tree에 관한 예제를 풀어보겠습니다.

 현재 주가가 50$이고, 2개월 만기 후 주가는 53$ 또는 48$가 됩니다. 무위험 이자율은 연속 복리 연 10%일 때 행사가격 49$의 2달 만기 유럽식 콜옵션의 가격은 얼마인지에 대해 계산해 봅시다. 현재 주가가 50$인 주식을 delta 개 보유하고 옵션의 매도포지션 가격을 C라고 하면 주가가 상승했을 때와 하락했을 때의 보수가 같도록 delta를 정해야 합니다. 따라서 53*(delta)-max(53-49,0) = 48*(delta)-max(48-49,0) 이 되도록 하는 delta를 구하면 delta는 0.8이 됩니다. 

2. Risk-Neutral Valuation(위험 중립 확률 가격결정) 모형에 관한 예제를 살펴봅시다.

현재 주가(S)가 40$, 행사가격(K) 가 40$, 만기가 3개월이므로 T=3/12=0.25, 무위험 이자율은 연 8%, u=45/40=1.125, d=35/40=0.875일 때 3개월 만기 유럽식 풋옵션의 가치를 계산해 봅시다. DT는 한 시점과 다른 시점 사이의 거리로, T/N을 나타냅니다. 1 step binomial tree일 경우 DT와 T는 같아집니다. DF 할인인자를 의미하며 exp(-r*DT)로 계산된다. 확률(probability)의 경우 exp(r*DT-d)/(u-d)로 계산됩니다. 풋옵션의 경우 보수가 max(K-ST, 0)가 되므로 주가가 상승했을 때와 하락했을 때의 보수는 각각 max(40-45,0), max(40-35,0)이고, 가치는 DF*(p*0+(1-p)*5)가 됩니다.

3. 1 step 이상인 모형에 대한 예제를 살펴봅시다.

 이때 K, T, r, u, d, N, DT, probability(p), DF는 여전히 같은 의미를 가지며 유럽식 모형은 만기 시점에서만 옵션을 행사할 수 있습니다. 현재 주가가 100$이고, 두 단계 6개월 만기로 10%까지 상승 또는 하락하며 무위험 이자율은 연속 복리로 연간 8%라고 가정해 봅시다. 1년 행사가격 100$의 유럽식 콜옵션 가치를 구해보면, 1년 후 보수는 max(121-100, 0), max(99-100, 0), max(81-100,0), 입니다. 6개월 후 보수는 DF*(p*21+(1-p)*0))=14.205, DF*(p*0+(1-p)*0)=0, 현재 가치는 DF*(p*14.205+(1-p)*0)=9.609가 됩니다. 풋옵션일 경우에는 1년 후 보수만 반대로 되고 같은 방식을 취합니다.
 기초자산이 외환이며 변동성이 있는 경우, u와 d를 계산할 때 변동성이 적용됩니다. r을 국내 이자율이라 하고 RF를 해외 이자율이라고 합시다. 변동성을 sigma라고 하면 u=exp(r*SQRT(sigma)), d=exp(-r*(sigma))로 결정됩니다. 확률은 exp((r-RF)*sigma)-d / (u-d)로 결정됩니다. 논문에서 확률을 구하는 식은 (r-d)/(u-d)이지만, 오늘 계산한 방식은 exp(r*DT-d)/(u-d)를 취했습니다. 여기서 기초자산이 외환인 경우에는 r 대신 (r-RF)가 대입됩니다.

 

4. 풋옵션이 미국식인 경우

 풋옵션이 유럽식이 아니라 미국식인 경우, 만기 시점 이전에도 옵션을 행사할 수 있기 때문에 가치가 다르게 결정될 수 있습니다. 예시를 통해 살펴봅시다. 주가가 현재 40$이고, 행사 가격은 42$이며, 만기는 3개월 만기를 두 번 적용하여 6개월이고, 무위험 이자율은 연속 복리로 연간 12%입니다. 주가가 상승할 경우 10%까지 상승하고 주가가 하락할 경우 10%까지 하락할 수 있고, 2 step binomial tree이므로 N=2이며 시점과 다른 시점 사이 거리 DT는 0.25입니다. 유럽식의 경우 6개월 뒤 보수는 U, U일 때 max(42-48.4,0)=0, U, D 또는 D, U일 때 max(42-39.6,0)=2.4, dd일 때 max(42-32.4,0)=9.6이며 3개월 뒤에는 U일 때 DF*(0*p+2.4*(1-p))=0.809, d일 때 DF*(2.4*p+9.6*(1-p))=4.75로 정해집니다. 따라서 현재 가치는 DF*(0.809*p+4.75*(1-p))= 2.118입니다. 반면 미국식의 경우, 6개월 뒤 풋옵션 행사의 보수는 동일합니다. 다만, 3개월 뒤에는 U일 때 max(DF*(0*p+2.4*(1-p)),42-44)=0.8098, D일 때 max(DF*(2.4*p+9.6*(1-p)),42-36)=6으로 보수가 정해지며 이에 따라 D일 때 보수가 유럽식과 다르게 나옵니다. 따라서 현재 가치도 max(DF*(0.8098*p+6*(1-p)),42-40)=2.5373으로 유럽식에 비해 더 높은 값을 갖습니다.