7. CRR 논문의 요약 및 금융 공학에 대한 설명

1. CRR 논문에 관한 소개

CRR 논문은 옵션의 가치를 설명하는 이산형 모형의 내용에 관해 설명합니다. 옵션의 가격을 알기 위해 필요한 것은 기초 자산의 현재 시점 가격(S0), 행사가격(K), 만기까지 남은 시간(T), 무위험 이자율(r), 기초자산의 변동성(volatility)입니다. 옵션의 가격을 알기 위해서 가격이 오르거나 하락할 확률에 대한 정확한 정보가 필요하지 않습니다.

 

2. 이항 옵션 가격 결정식

 이항 옵션 가격 결정 공식에 대해 알아봅시다. 기초자산의 현재 시점 가격을 S라고 했을 때 가격은 u 배만큼 상승하거나 d 배만큼 하락합니다. 따라서 기간의 끝에 주식 가격은 u*S 혹은 d*S가 됩니다. 또한 무위험 이자율은 일정한 상수라고 가정합니다. [1 + 무위험 이자율]을 r이라고 표시합시다. 여기서 추가되는 가정은 u > r > d의 조건을 만족해야 한다는 것입니다. 만약 r이 d보다 낮은 경우에는 주가가 내려가도 은행에 돈을 맡기는 것보다 이익이므로 무조건 돈을 빌려서 주식을 사는 것이 이익이므로 관심 대상이 되지 않으며, 만약 r이 u보다 큰 경우에는 주식에 투자하는 것보다 은행에 맡기는 것이 더 이익이므로 관심 대상이 되지 않습니다. 콜옵션의 현재 가격을 C라고 했을 때, Cu는 주가가 u*S가 되었을 때 만기 시점의 가격이며 Cd는 주가가 d*S가 되었을 때 만기 시점의 가격입니다. 이러한 수식하에서 우리는 C의 값을 알아내고자 합니다. 주식에 투자하는 경우 또는 은행에 투자하는 경우를 자유롭게 선택할 수 있기 때문에, 주식에 투자하는 경우와 은행에 투자하는 경우를 각각 델타, B라고 합시다. 델타와 B의 값에 따라 Cu와 Cd가 같아지도록 식을 세우면 Cu는 (r-d)/(u-d)의 확률로 선택하고, Cd는 (u-r)/(u-d)의 확률로 선택합니다. 이를 risk-neutral probability(위험 중립 확률)라고 소개하나, no-arbitrage probability(무차익 거래 확률)라고 부르는 것이 더 바람직해 보입니다.

 

3. 이항 옵션 가격 결정식의 특징

 위와 같은 공식은 몇 가지 특징이 존재합니다. 첫째로, 주가가 상승할 것이라고 믿는 주관적 확률인 q는 공식에 사용되지 않습니다. 즉, 사람마다 주관적 확률이 다르더라도 위의 공식은 성립합니다. 둘째로 콜옵션의 가격(C)은 위험에 대한 투자자의 태도 영향을 받지 않습니다. 오직 투자가가 더 많은 부를 선호한다는 가정만이 필요할 뿐입니다. 셋째로, 콜옵션의 가치를 결정하는 유일한 확률변수는 주가 그 자체입니다. CAPM(Capital Asset Pricing Model)에서 자산의 수익률은 시장 포트폴리오의 결과에 의존하는 것에 반하여, 콜옵션의 가치는 주가의 영향만 받습니다. 마지막으로, p(=(r-d)/(u-d))의 값은 항상 0보다 크고 1보다 작으며 확률의 특성을 가집니다. p의 값은 위험 중립자인 사람이 무위험 투자에서의 수익과 주식투자에서의 수익이 같도록 결정하는 주관적 확률 q의 값과 우연히 일치하나, 이는 투자자를 위험 중립자로 가정하였기 때문이 아닙니다.

 

4. 여러 만기에 적용되는 이항 옵션 가격 결정식

 이러한 이항 옵션 가격 결정 공식은 만기가 1기가 아니라 2기, 그 이상인 'n' 기에서도 성립합니다. 만기가 'n' 기인 경우에 대해서도 생각해 봅시다. 총 n번 중 주가가 j번 상승한다고 하면 주가의 가격은 u^j*d^(n-j)*S가 됩니다. 이자율은 항상 상수로 일정하므로 'n' 기후[1+무위험 이자율]의 값은 r^n이 됩니다. 콜옵션의 가격을 C라고 하면, 만기 시점에서의 보수는 n번 중 j번의 p가 곱해지고, (n-j) 번의 (1-p)가 곱해진 숫자에 대해 주가의 가격에서 행사가격을 뺀 값과 0중 더 큰 값을 다 더한 것이 됩니다. 이를 현재 시점으로 할인하면 C의 값을 구할 수 있습니다.

 

 

 

 

논문 출처:

OPTION PRICING: A SIMPLIFIED APPROACH* John C. COX Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, MA 02139, USA Stanford University, Stanford, CA 94305, USA Stephen A. ROSS Yale University, New Haven, CT06520, USA Mark RUBINSTEIN University of Califorma, Berkeley, CA 94720, USA Received March 1979, revised version received July 1979